Matematicas financieras
Historia
Valor actual neto
Progreciones aritmeticas y geometricas
Anualidades
Interes simple y compuesto
Valor presente y valor futuro
Anualidades

Anualidades
En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son :
1. Pagos mensuales por renta
2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito
4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro.
Plazo de una anualidad.- es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final o ultimo.
Renta.- es el nombre que se da al pago periódico que se hace.
También hay ocasiones en que se habla de anualidades que no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos a intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial
Clasificación de las anualidades :
Anualidad cierta.- Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo :
a) Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ultimo.
Anualidad contingente.- La fecha del primer pago, la fecha del ultimo pago, o ambas, no se fijan de antemano; dependen de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuando. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que este morirá, pero no se sabe cuando.
Anualidad simple.- Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses.
Anualidad vencida.- También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Anualidad inmediata.- Es el caso mas común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato : se compra a crédito hoy un articulo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).
Formulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas :
Monto Valor Actual
M= R[ (1+i)n - 1]
------------
i C = R[ 1- (1+i)-n]
-----------
i
Donde:
R= renta o pago por periodo
M= monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.
n = numero de anualidades o pagos.
C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.
Ejercicio 1.- Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.
En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos quedaría de la siguiente manera :

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos :
36/100/12 = .03 i = .03 n = 6
Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad constante; anualidad; a abonarse a la operación) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la formula que utilizaremos es :
M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 - 1 ]
------------ ----------------
i .03
Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98
Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la formula de interés compuesto donde tenemos : M = C (1 + i )n
Se suman al monto por lo cual podemos decir :
M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927
M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551
M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273
M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090
M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000
-----------
546 841
+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos).
Una manera mas de realizar lo anterior seria mediante la formula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre mas el deposito (100 000) que se hacen al final de cada semestre :
Tiempo Cantidad Monto
Final 1er mes 100 000 100 000
Final 2do mes 100 000(1+ .03)1+100 000= 230 000
Final 3er mes 203 000(1 + .03)1 + 100 000= 399 000
Final 4to mes 309090(1 + .03)1 + 100 000 = 418 362.7
Final 5to mes 418 362.7(1 + .03)1 + 100 000 = 530 913.58
Final 6to mes 530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000 = 646 840.98



.
Una renta es una serie de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo, cuyo objetivo es reunir un capital o cancelar una deuda


Gráficamente la renta se puede representar mediante el siguiente diagrama







En consecuencia en toda renta distinguiremos los siguientes
ELEMENTOS:
Cuota periódica: R
Cada uno de los pagos periódicos
Periodo de pago o maduración:
Tiempo que transcurre entre dos pagos consecutivos
Duración de la renta:
Tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último periodo de pago
Fecha de valoración de la renta
Momento en el cual se calcula el valor de la renta
Valor final de la renta: S
Valor de la renta al final del último periodo de pago
Valor Actual de la renta: A
Valor de la renta al inicio del primer periodo de pago










Ejemplo N°1:
Encuentre el valor final de una renta con cuotas anuales de 1.000, durante cuatro años a una tasa de 20% anual capitalizable anualmente.




S = 100(1+0,2)3+ 100(1+0,2)2+ 100(1+0,2)1+ 100 = 536,80
Encuentre el valor actual de la misma renta


CLASIFICACION:
Según la cuantía:
Constantes : cuota constante
Variables: cuota variable
Según la certeza de los elementos:
Ciertas: Cuando todos los elementos que definen la renta son conocidos con certeza. Ejemplo: cupones de bonos a tasa fija.
Aleatorias o contingentes: Cuando alguno o todos los elementos de definición de la renta dependen de un fenómeno aleatorio o fortuito. Ejemplo: Los dividendos de una acción
Según el vencimiento de los pagos:
Vencidas: el pago de la renta se hace al final del periodo de pago.
Anticipadas: el pago se efectúa al principio del período de pago.
Según la periodicidad de los vencimientos:
Enteras: el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización.
Fraccionadas: el periodo de pago no coincide con el periodo de capit.
Según el objetivo:
Capitalización: se pretende acumular un capital
Amortización: se pretende cancelar una deuda.
En general nos enfrentaremos a dos problemas básicos:
Valorar una renta en cualquier momento del tiempo
Calcular las cuotas
Formulas:


Renta vencida

R = cuota periódica
n = número de cuotas
i = tasa del periodo
Periodo de la renta = Periodo de capitalización
Duración = n periodos
S = R(1+i)n-1+ R(1+i)n-2+ R(1+i)n-3+ ... + R(1+i)2+ R(1+i)1+ R =
= R[(1+i)n-1+(1+i)n-2+(1+i)n-3+ ... + (1+i)2+ (1+i)1+ 1] =






EJEMPLO:
El valor final de una renta anual de Bs. 1.000 durante 10 años a una tasa de 5% efectivo anual es
= 12.577,89

En este caso los intereses ganados son:
12.577,89 - (10)(1000) = 2.577,89


Sistemas de Amortización
El préstamo es una operación financiera mediante la cual un banco o institución financiera entrega de una sola vez un capital a un cliente a cambio de que este devuelva el principal (capital) y los intereses del mismo, de acuerdo a un determinado plan de pagos y en base a una tasa de interés determinada.
Las operaciones de préstamo se llaman usualmente operaciones de amortización de capital, y los diferentes planes de pagos se llaman sistemas de amortización.
En las operaciones de amortización, el prestamista entrega un capital en un momento determinado y el prestatario se compromete a devolver un conjunto de pagos periódicos cuya finalidad es devolver el capital prestado y satisfacer los intereses devengados por la deuda durante la duración de la operación. Por lo tanto un sistema de amortización es una operación financiera que consiste en pagar el capital de una deuda con sus intereses mediante cuotas periódicas.
Gráficamente, la operación de amortización se puede representar mediante el siguiente diagrama:









Las variables o elementos que intervienen en una operación de amortización son las siguientes:
Capital prestado o deuda (D): Cantidad de dinero cedida por el prestamista en el momento t = 0, que debe ser devuelta durante el tiempo que dure la operación.
Cuota periódica de pago (Rk): Cantidad de dinero pagado por el prestatario en el periodo k, normalmente vence al finalizar el periodo.
Deuda o capital pendiente de amortizar (Dk): Cantidad de dinero pendiente de amortizar o saldo de la deuda al finalizar el periodo k, después de pagar la cuota periódica Rk.
Cuota de intereses (Ik): Parte de la cuota periódica que se destina a pagar los intereses devengados por la deuda pendiente al comienzo del periodo k.
Cuota de amortización (Ck): Parte de la cuota periódica que se destina a pagar el principal (o capital) de la deuda pendiente al comienzo del periodo k. Es la amortización de capital del periodo k.
Capital amortizado (Sk): Cantidad de dinero o suma total amortizada de la deuda al finalizar el periodo k, después de pagar la cuota periódica Rk. Es la diferencia entre la deuda o capital prestado y el capital pendiente de amortizar. ( Sk = D - Dk ).
Intereses pagados (IAk): Cantidad de dinero pagado en total por concepto de intereses devengados por la deuda hasta finalizar el periodo k, después de pagar la cuota periódica Rk.
En cada periodo, la cuota periódica es igual al pago de amortización de capital mas el pago de intereses:
Rk = Ck + Ik
Las operaciones de amortización se valoran de acuerdo a la ley de interés compuesto, en la práctica aunque pueden valorarse en cualquier ley financiera. Además, como ya sabemos, en toda operación financiera debe existir equivalencia de capitales. En este caso debe haber equivalencia entre lo prestado y lo pagado:
,
i es la tasa de interés del periodo de pago y n es la cantidad de periodos de pago en toda la operación de amortización o el número de cuotas periódicas.

1) Se otorga un préstamo de Bs. 1.000.000 para ser cancelado por el sistema de amortización progresiva, mediante el pago de una cuota mensual durante 120 meses. Si la tasa de interés anual es de 24% anual capitalizable mensualmente, determine:

a) Cuota periódica.
b) Amortización contenida en la primera cuota.
c) Suma amortizada al pagar la cuota número 33.
d) Saldo cuando se ha pagado la cuota número 57.
e) Intereses de la cuota 100.
f) Intereses pagados hasta la cuota 90.
g) Total pagado en intereses.


Solución:

a) Cuota periódica = R




b) Amortización de la primera cuota = C1.

C1= R- I1=22.048,10-20.000=2.048,10

c)


d) D57= Valor actual de las cuotas por pagar





Rentas Perpetuas
En el caso de que la renta no tenga determinada su duración, es decir, que el número de términos no este definido, se dice que la renta es perpetua.
Las rentas perpetuas pueden calcularse a partir de las temporales teniendo en cuenta que cuando el número de términos tiende a infinito el operador an,i se transforma en 1 /i.
El valor actual de una renta pospagable y perpetua se representa como ai.
El valor actual de una renta prepagable y perpetua se representa como äi.
Como es lógico pensar las rentas perpetuas no poseen valor final, ya que no se llega nunca a su final.

ai = 1 /i
äi = (1 +i) /i
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