Matematicas financieras
Historia
Valor actual neto
Progreciones aritmeticas y geometricas
Anualidades
Interes simple y compuesto
Valor presente y valor futuro
Interes simple y compuesto

Interés simple
Un bien que haya demostrado que en cada periodo produce un cierto excedente, puede esperarse que en los próximos periodos también lo producirá.
Ejemplos: Rentas de fincas, casas,...
En el Sistema de interés simple, solo el capital devenga intereses, es decir, los intereses no se capitalizan, no se convierten en capital para ganar intereses. Normalmente se usan en periodos de tiempo de la misma amplitud, los intereses son los mismos. Se aplica principalmente en operaciones de corto plazo.
Por ejemplo, suponga que coloca un capital de Lps. 1.000 al 10% de interés simple anual durante 3 años, el cuadro siguiente muestra el comportamiento de capital e intereses en un periodo de tres años.
Periodo Años Capital
Inicial Intereses
Periodo Monto
Final
1 1.000 100 1.100
2 1.000 100 1.200
3 1.000 100 1.300

En general, si colocamos un capital P a la tasa anual de i

Intereses ganados en 1 año: P.i
Intereses ganados en n año: P.i.n

I = P.i.n

Monto acumulado al final de n años = Capital + Intereses = P+P.i.n

M = P(1+i.n)
Donde i es la tasa del periodo y n es el número de periodos. La tasa i y el número de periodos debe estar en la misma unidad de tiempo, es decir, si la tasa es mensual, n es el número de meses; si la tasa es trimestral, n es el número de trimestres, etc.

La fórmula M = P(1+i.n) significa que P hoy es equivalente a M dentro de n años, es decir, P y M son capitales equivalentes

De acuerdo a la cantidad de días que consideremos en el año, el interés simple se llama:
 Exacto (considera los días exactos del año en curso, 365 o 366 días)
 Ordinario (considera el año comercial de 360 días)

Por otro lado, el tiempo puede ser:
 Tiempo real (cuenta los días exactos)
 Tiempo aproximado (cuenta los meses por 30 días)





Notacion y formulas
F = P + I
I = P.i.n
F = P(1 + i.n)
i = Tanto por uno de interés del periodo
P = Capital invertido (o C)
I = Intereses devengados.
n = Nº de periodos (duración de la operación)
F = Monto final (o M) (o S)














En el sistema de interés simple el dinero crece linealmente y la pendiente de la recta es P.i. El monto o valor futuro viene representado por la altura de la recta en el tiempo n. Por lo tanto a mayor tasa mayor monto final.



















Interés Compuesto
Conceptos básicos
En el interés compuesto los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso. El interés se capitaliza.
Periodo de capitalización.- El interés puede ser convertido en Anual, semestral, trimestral y mensualmente. El periodo de capitalización (o de composición o de conversión) es el intervalo de tiempo al final del cual se añaden los intereses al capital. Por ejemplo, si el interés se capitaliza anualmente, el periodo de capitalización es el año; si el interés se compone mensualmente, el periodo de capitalización es el mes, etc… Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo. La equivalencia de capitales es perfecta.. Un capital P, invertido en un momento cualquiera puede crecer durante intervalos iguales a una tasa constante

Frecuencia de Conversión.- Número de veces que el interés se capitaliza durante un año (n). cuántos trimestres tiene 1 año. Ej. n? de un depósito que paga 5% capital trimest. n = 12 meses/3 meses = 4.
Tasa de Interés compuesto.- Se expresa comúnmente en forma anual indicando si es necesario su periodo de capitalización. Ej. 48% anual capitalizable mensualmente.
Conclusiones
a) Interés compuesto es mayor que el interés simple.
b) A mayor frecuencia de conversión mayor será el interés siendo igual la tasa anual nominal. Ej. un depósito que obtenga intereses mensualmente tendrá mayor rendimiento que uno que los obtenga trimestralmente.

En el sistema de interés compuesto, el capital y los intereses devengan intereses. Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición.
Suponga que coloca un capital de Lps. 1.000 al 10% de interés compuesto anualmente durante 3 años, el cuadro siguiente muestra el comportamiento de capital e intereses en un periodo de tres años.
Periodo Años Capital
Inicial Intereses
Periodo Monto
Final
1 1.000 100 1.100
2 1.100 110 1.210
3 1.210 121 1.331

Observe que los intereses en un mismo periodo de tiempo no son iguales, aumentan debido a que el capital aumenta al añadirle los intereses. En nuestro ejemplo, Lps.100 el primer año, Lps.110 el segundo y Lps.121 el tercer año.
En general, si colocamos un capital P a interés compuesto, con tasa del periodo de capitalización igual a i, el comportamiento del capital e intereses durante n periodos es como sigue


Periodo Capital
Inicial Intereses
periodo Monto
Final
1 P P*i P+Pi = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)*i P(1+i)+P(1+i)*i = P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2*i P(1+i)2+P(1+i)2*i = P(1+i)3
.
. .
. .
. .
.
n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1*i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1*i = P(1+i)n


F = P(1+i)n

Donde i es la tasa del periodo de capitalización y n es el número de periodos de capitalización.
La fórmula F = P(1+i)n significa que P hoy es equivalente a F dentro de n años, es decir, F y M son capitales equivalentes de acuerdo a la ley de interés compuesto
Notacion y formulas
F = P(1+i)n

I = F - P


P: Valor Presente o capital Inicial
F: Valor Futuro o Monto final
I: Intereses
i: tasa del periodo de capitalización
n: nº de periodos de capitalización
k: Frecuencia de la capitalización

Frecuencia de la capitalización (k): es el número de veces que se capitalizan los intereses en un año.
Si tomamos como unidad de tiempo el mes, y el interés se compone mensualmente entonces k = 12; si el interés se capitaliza trimestralmente, entonces k = = 4;
si el interés se convierte bimestralmente, k = = 6